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"Parameter estimation for operator scaling random fields" (2014, JMA)

 

1. 먼저 본인의 간략한 소개를 부탁드립니다.

안녕하세요, 저는 시카고 대학에서 공간통계학(Spatial Statistics) 관련분야연구로 박사학위를 받고, 미시간 주립대에 근무를 하다가 작년에 서울대학교 통계학과로 옮겼습니다. 공간통계학내에서 좀더 구체적 연구분야로는 공간과정의 스펙트럼밀도함수(spectral density) 의 특성과 모수추정에 관한연구, 지역별 암발생률과 같은 지역/격자자료 (areal data or lattice data)에 대한 모형연구, 지문영상, 의학영상과 같은 영상자료에서 추출한 공간자료 분석과 관련된 연구를 진행하고 있습니다.

 

 

2. 상기 논문의 아이디어를 어떻게 얻었는지, 진행과정에서 어떤 어려움이 있었는지, 그리고 어떻게 극복했는지에 대해 말씀해 주시겠습니다?

위의 논문은 공저자중 한명이 여름 동안 미시간주립대에 방문했을때 같이 쓰게 되었습니다. 공저자들은 주로 확률장(random fields)을 연구하는 분들이고, 이분들이 모형화한 operator scaling random fields를 실제자료에 적합해서 분석하는데 쓰이기 위해선 해당 모수의 추정방법이 필요했습니다. 그런데 비선형의 관계를 가지고 있었고, 모형의 특성상 랜덤오차의 평균이 0이아닌 문제가 있었습니다. 이 경우에 기존의 비선형모형에서 최소제곱방법을 쓸 경우 모수추정값이 불일치하다는 것이 알려져 있었습니다. 따라서 이 문제를 해결하기 위한 연구가 진행되었고, 종속변수의 표본평균을 고려한 최소제곱방법이 모의시행결과 좋은 결과가 나온다는 것을 알게 되었고, 이의 이론적 뒷받침을 위한 모수추정값의 일치성(consistency)과 점근정규성(asymptotic normality)을 보이기 위한 노력이 다행히 성공을 하여 논문이 완성할 수 있었습니다.

 

 

3. 논문의 내용에 대한 설명을 부탁드립니다.
확률장(random fields)는 다양한 자연현상을 나타내는데 쓰일 수 있습니다. 특히 자기유사과정 (self similar process)은 자연현상의 프랙탈(fractal)특성을 나타내는데 유용하고, 자기유사정도를 지수화한 Hurst Index가 프랙탈을 수치화한 개념으로 볼 수 있습니다.
따라서 Hurst Index는 프랙탈지수(fractal index)하고도 연관이 있고, 실현된 확률장 표면(surface of realized random fields)의 거침/부드러움(roughness/smoothness)의 정도를 나타내는데 쓰이기도 합니다.
보통의 자기유사과정은 공간상의 확률장이라도 등방성(isotropy)을 가정하고 하나의 Hurst index로 표현하는 경우가 많았는데, 실제 자연현상에서는 각 좌표별로 다르게 나타나는 경우가 많습니다. 예를들어 Hydrology (수문학)분야에서, ground water의 움직임을 나타내는 alluvial aquifer model에서는 ground water flow의 주 움직임 방향에 따른 Hurst Index와 수직인 방향으로의 Hurst Index가 다르고, 수직방향의 Hurst Index는 Fluvial deposition process의 영향을 나타낸다고 알려져 있습니다.
이러한 자연현상을 나타낼 수 있는 자기유사과정의 하나로 Operator Scaling Stable Random Fields (OSSRF)이 개발되었습니다. OSSRF는 Hurst Index가 공간상의 좌표별로 다다른 것 뿐만 아니라 두 축이 수직이 아닌 경우도 모형화가 가능하도록 되어 있습니다. 본 논문에서는 이러한 확률장을 모형으로 사용하여 실제자료를 분석하기 위해 표본평균을 고려한 비선형 최소제곱법을 제안하고 이를 통해 추정된 모수추정값의 일치성과 점근정규성을 보였습니다.

 

 

4. 이 논문의 시사점은 무엇이며 후속 연구를 어떤 방향으로 진행되고 계신지요?

이 논문에서 제안된 모수추정방법을 통해서 OSSRF모형으로 특히 ground water flow자료를 분석하는데 도움이 될 것이라고 생각됩니다. 이 논문에서는 랜덤오차의 변량을 따로 추정하는 방법이 제시되어 있지 않아서 실제로 추정된 모수의 신뢰구간이나 검정을 하는데 어려움이 있기 때문에 이에 대한 연구가 진행될 필요가 있다고 생각됩니다. 또한 다변량의 경우로 확장이 된 Operator fractional Brownian motion과 같은 벡터 확률장에서도 비슷한 모수추정방법이 사용 가능할 것으로 생각됩니다. 확장 부분에 대한 연구를 계속 진행하려고 시작은 했었는데, 제가 학교를 옮기면서 멀리 떨어져 있게 되면서, 진척이 거의 되고 있지 않습니다. ^^

 

 

5. 본인의 연구분야에 대해 통계마당 회원들에게 소개하고 싶으신 점이 있다면?

국제적으로는 공간통계학분야에 많은 분들이 활발히 연구를 하고 계신데 반해 아직 국내에서는 상대적으로 공간통계학분야에서 연구하시는 분이 상대적으로 적은지 공간통계학이 생소하다는 반응을 학생들로부터 많이 들었습니다. 공간통계학은 공간자료(spatial data) 또는 시공간자료 (spatio-temporal data)를 분석하기 위한 다양한 통계적 방법론에 대한 연구를 하는 분야입니다. 기존의 통계적 방법론들이 자연스럽게 공간자료 또는 시공간 자료로 확장이 가능한 경우 공간 또는 시공간상의 종속성을 고려하여야 함으로 기존 방법론이 이러한 종속성을 가지는 자료에 대해서도 여전히 적용가능한지 에 대한 연구가 필요하고, 또한 기존의 방법론으로 해결되지 못하는 경우공간자료 또는 시공간자료의 특성에 맞는 새로운 방법론에 대한 연구가 다양하게 진행되고 있는 분야입니다. 기상/환경과학, 경제학, 생태학, 전염병학, 지리학, 수문학, 사회학, 의학영상처리 등의 다양한 과학/응용 분야에서 공간 또는 시공간 자료가 축적되고 있기 때문에 이를 분석하기 위한 공간통계학의 중요성과 관심이 갈수록 높아지고 있습니다.






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